Blender 3D : cathédrale de Reims- 4 les voutes

Voilà l’article qui va traiter de la création des voutes. Ce n’est pas une mince affaire et c’est passionnant de constater avec quelle ingéniosité les architectes ont résolu des problèmes compliqués avec de la logique mais surtout la géométrie et le génie du tracé!
Viollet-le-duc parle déjà dans son dictionnaire raisonné de l’architecture des systèmes de voutes et des tracés de triangles parfaits par les Égyptiens et plus je le lis et plus je trace et plus je pense que nos cathédrales sont liées par les nombres à la grandeur des pyramides. En tout cas il est temps de construire nos voutes en 3D et de pénétrer davantage dans leur conception. Accrochez-vous…

I/ Le dimensionnement final

Petit rappel j’ai pris une travée de 7m35 (pour 24pieds et des clopinettes). Je suis également parti sur l’hypothèse d’une croisée d’ogive quasi carrée pour le collatérale or l’entraxe de la nef = 14m70, distance entre 2 travées = 7m35*2 = 48pieds. Ce qui donne une largeur totale de 48+24*2 = 96pieds! Je suis vraiment pas mal mais il reste le petit décalage… Mais mon esprit a pu enfin se libérer des chiffres en trouvant une base de calcul : les claveaux.

A/ Les claveaux

Claveaux

C’est un peu la taille élémentaire d’un bloc de pierre pour les voutes et je ne pouvais pas descendre plus bas dans l’analyse en tombant sur leur taille. Je me suis dit que ce serait plus facile si la largeur des archivoltes (les doubles voutes du rez-de-chaussée) était donnée par 1 multiple de la largeur de ces pierres et.. oui! La largeur d’un claveau pour Reims étant visiblement de 8pouces j’ai réussi à articuler un peu tout autour de cela.

Avec une petite frayeur : Viollet-le-duc écrit à un moment, en parlant des claveaux, que leurs largeurs pouvaient aussi être d’1 pied soit 33cm (Aïe! pas 30.48 :/) ou 18pouces soit 50cm. Toutefois son dictionnaire se voulant officiel il n’avait peut-être pas le choix d’utiliser le pied royal (les plans actuels utilisent bien le mètre). Pour ma part ça ne change pas grand chose car je vois que les dimensions collent mieux avec le pied anglais et si les proportions sont bonnes et que j’ai la logique de construction… On est bon!

Pour faire le lien avec l’article précédent voilà comment j’ai structuré/divisé mon pilier avec 1 petit cercle = 8 pouces :

Ma théorie de départ des voutes : en bleu pour la voute longitudinale, en blanc pour la voute croisée d’ogive et en rouge pour la voute transversale

Pourquoi cette division? Eh bien c’est un peu fou mais…
1 pied = 12pouces, 1 claveau = 8 pouces donc 3 claveaux = 24pouces donc 2 pieds. Or mon pilier fait 4 pieds de rayon soit 48 pouces soit la même largeur que la nef qui fait 48pieds.
Cela facilite également le découpage car 48 pouces est divisible aussi par 12 et fait coller d’après moi au plus près de la réalité. Attention en rose vous avez le pilier non corrigé (même largeur dans le sens longitudinale que transversale soit les 4 pieds).
Pour le départ des voutes on voit bien sur le plan que l’intérieur de la voute transversale s’arrête à 56 pouces contre 52 pour la longitudinale : les fameux 4 pouces…

Ce qui ne colle pas c’est qu’on voit que la croisée d’ogive part à 45° depuis le centre du pilier or dans l’article précédent si je partais sur cette option le collatéral ne faisait pas la largeur souhaitée…

Ce qui m’a laissé 2 choix : décaler l’axe sur le pilier (tracé bleu) ou adopter un tracé légèrement rectangulaire qui donne la diagonale avec le tracé mauve pour avoir les bonnes dimensions intérieures. J’ai pris des photos, essayé plusieurs configurations mais pour percer un peu plus le mystère il faut à mon avis avancer dans le tracé des voutes. Tenez d’ailleurs.. Vous voyez quoi? La croisée d’ogive fait un angle droit ou pas?

La fameuse croisée d’ogive. Vraiment carrée.. ou pas?

Personnellement je dirais que non et je dirais que la voute du collatérale est plus large que la fenêtre ou que la voute de gauche qui supporte le mur de la nef. D’ailleurs sur le plan de coupe du pilier on voit que la croisée d’ogive ne part pas à 45° mais bon avec toutes ces informations qui se contredisent on ne sait plus sur quel pilier danser…
A noter aussi que dans un premier temps je m’étais basé sur la 2ième travée or en me rendant sur place j’ai remarqué qu’il n’y a pas que la première qui est spéciale.. La 2ième aussi! C’est une travée de transition vers la nef qui semble elle plus carrée.. Enfin bref

B/ La naissance des voutes longitudinales

Dans le précédent article j’avais toute une problématique autour du dimensionnement. En partant de la taille d’un claveau je peux désormais tout proportionner :

Vue du dessus de la travée partie collatéral (clic pour animation)

L’image ci-dessus montre le principe que j’ai adopté et qui est le suivant : je pars à l’envers bâtisseurs et c’est en quelque sorte la fenêtre et la taille des claveaux qui vont me permettre de reconstruire le puzzle. Cette nuit j’ai eu une vision (touché par la grâce lol) et voilà pour l’explication :

1) Épaisseur des contreforts

La voute de la fenêtre se calcule d’après les murs intérieurs des 2 contreforts (d’entraxe 7.35 donc). J’ai représenté ces murs en traits verts. J’ai établi la largeur de ces contreforts d’après un multiple de claveaux en l’occurrence 8pouces * 5 (les petits cercles roses) = 40pouces = 1.016m qui donnent donc une épaisseur de 2.032m pour les contreforts. J’avais fixé cette largeur d’après les images à 2m et il faut dire que ça colle bien!

2) Épaisseur de murs

Figurant en traits forts sur l’image les murs donc la largeur des voutes transversales et longitudinales a été fixée à 8 pouces *3 soit 24 pouces ou 2 pieds donc la moitié du rayon du pilier ce qui permet de la diviser en 3 de manière idéale : 2 pieds pour supporter la voute de la nef, 4 pieds pour le mur de la nef et 2 pieds pour la voute du collatéral. En fait ce sont 2 pieds et un peu plus puisque le pilier est asymétrique.

3) Tracé de la voute longitudinale

projection du tracé

J’ai un peu abordé le tracé avec l’article précédent mais c’était une petite mise en bouche. Reprenons la vue de dessus précédente : je trace 2 cercles oranges ayant pour centre la distance intérieure des contreforts : j’ai ma forme de voute. Il suffit de la tourner de 90° pour voir si cela correspond et on constate que le trait orange ne correspond pas : il y a un décalage. Pas de panique le rayon de courbure a l’air correct et en regardant avec attention on remarque que les colonnettes s’arrêtent plus haut au niveau de l’axe vert (voir image ci-contre). Ce décalage est esthétique mais mon intuition me dit que cela cache autre chose..

tracé terminé

Le fait de devoir tourner ma géométrie à 90° m’a un peu ouvert les yeux sur les pratiques des architectes de l’époque.. Leur génie c’était aussi de maitriser à la perfection les projections! Pas de logiciels 3D à l’époque ni d’accès à des moyens de calculs compliqués donc toutes les correspondances entre les plans devaient se faire par projection de points clés.
Ce décalage est tout simplement le moyen d’obtenir des archivoltes harmonieuses et de tracer une croisée d’ogive qui prend en compte les épaisseurs des voutes longitudinales et transversales. Mais je vais y revenir plus tard alors retenez bien ce décalage en hauteur que je vais appeler H 😉

Oui le tracé que j’ai fait est une vérification un peu grossière. D’ailleurs je peux aussi m’amuser à projeter ce tracé sur les voutes transversales

4/ Vérification

Un petit moment de stress lors de la vérification de la voute transversale car je dois avouer que j’ai envie de passer à autre chose ;). Je copie la géométrie obtenue et je la colle à 90° sur l’autre image :

Projection de la voute fictive

Bingo! Enfin à moitié.. J’ai avancé mais je dois vous avouer que c’est la méthode rapide et approximative de procéder en partant du principe que les voutes sont identiques et surtout en se basant sur l’image pour déterminer le décalage. Comme j’aimerais m’approcher un peu plus du tracé original je vais aborder plus sérieusement le tracé pour les voutes transversales.

C/ Tracé des voutes transversales

Vous voulez vraiment en savoir plus sur les tracés? Aïe aïe aïe…

Tracé des voutes d’après Viollet-le-Duc / Honnecourt

J’ai repris en partie les théories de Viollet-le-duc qui se base sur des tracés de Honnecourt pour retrouver les techniques utilisées au XIIième siècle. Il faut savoir que ces tracés ont évolué dans le temps mais par chance VLD (désolé Viollet-Le-Duc) évoque la cathédrale de Paris et de Reims qui suivraient le principe de tracé de l’image ci-contre.

Je dois avouer que j’y suis aussi allé au début un peu à l’intuition car malheureusement Viollet-le-duc n’a pas laissé de vidéo et toutes ses explications sont « de la géométrie descriptive » un peu longue à absorber alors voilà grosso modo mon travail :

1/ Le rayon de la croisée d’ogive

C’est simple c’est la distance du centre de la clé de voute de l’ogive jusqu’à l’axe du départ de la voute c’est à dire la ligne en jaune sur l’image ci-dessous. Pour ma part elle mesure 4.4m et vous pouvez alors facilement tracer les arcs de cercles qui sont sur la rectangle gris.

2/ Décalage en hauteur

On a vu en 2 que la courbure de l’arc de la fenêtre suit grosso modo celui des voutes intérieures (image fenêtre tracé vert) mais qu’il y a ce fameux décalage H et je me suis demandé si la projection de ce départ correspondait à ce décalage. J’ai donc tourné de 90° la partie qui concerne le départ des voutes sur le pilier :

Projection de l’axe de la croisée d’ogive sur le plan transversal

A partir le là pour tracer la voute on a la position en hauteur du centre et son rayon… Reste à savoir où se situe le centre entre les 2 piliers…

3/ Le décalage horizontal

Pour obtenir le décalage horizontal c’est simplement génial. Il faut revenir au triangle équilatéral et aux méthodes de tracés de l’époque. Si vous ne savez pas calculer rien est perdu car vous allez voir que vous pouvez facilement diviser une distance par 2, 3, 4 etc juste avec un compas (c’est le bonus du jour à la fin de l’article).

Il se trouve que je me suis un peu amusé et j’ai tracé l’intersection des médianes du triangle équilatéral défini par la croisée d’ogive. Et voilà :

En orange l’axe coupant les médianes du triangle équilatéral

Ce triangle est en fait tracé en projetant 2 arcs de rayon = la diagonale de la croisée d’ogive à chacune de ses extrémités. Voilà le résultat en vue transversale :

On a défini l’arc de la voute transversale en mauve

Je n’ai pas perdu plus de temps sur ce tracé ni vérifié par des tracés qui me semblent plus compliqués vu que l’essai semble concluant.. Mais j’étais quand même curieux de rapprocher cette position horizontale par le nombre de claveaux. La largeur du rectangle qui contient la croisée d’ogive fait dans mon cas 33 claveaux :

Le centre se situe à 8 claveaux de cette largeur. En fait si j’étais parti sur une croisée carré et décalé mon axe j’aurais sûrement eu 8-8-8-8 au lieu de 8-8.5-8.5-8 mais comme mon tracé colle avec l’image je ne chercherai pas plus loin. J’aime cependant l’idée que cette proportion revienne ) plusieurs niveaux : largeur du collatéral = env 1/4 de la largeur de la cathédrale, départ des voutes = env 1/4 de la largeur du pilier, centre de l’arc de la voute, 1/4 de l’espace à vouter… Enfin voilà…

II/ Exemples de modélisation des voutes en 3D

Il y a plusieurs techniques pour modéliser des voutes et il y a également plusieurs sortes de voutes. Ceux qui sont plus intéressés par le cas pratique de la Cathédrale de Reims iront directement au III 😉
Les techniques différent suivant les logiciels et donc aussi suivant le résultat qu’on en attend (type de voute, réutilisation, géométrie non destructive, etc). Je ne vais pas les passer toutes en revue : seulement les plus courantes et pour une croisée d’ogive perpendiculaire.

A/ Les opérations booléennes

VLD lui même décrit la création d’une voute en plein arc comme l’intersection de 2 cylindres donc voilà la méthode la plus rapide :

1/ créer les volumes de bases

Je créé 1 cube et 2 cylindres tournés à 90° suivant X et Y et je fusionne ces 2 cylindres. Rappel avec l’addon booltool d’installé il suffit de faire [Maj]+[Ctrl]+[B] pour avoir le menu contextuel :

Création de mon outil de découpe avec les 2 cylindres

2/ Découpe du cube

Il suffit alors de soustraire nos cylindres au cube mais cette fois on utilisera le mode ‘Brush Boolean’ qui permet de garder l’outil de découpe :

Soustraction des cylindres au cube
Résultat intermédiaire

On remarque que les cylindres n’ont pas disparu de la scène. En fait ‘Brush boolean’ créé un outil qui vient enlever la matière. En modifiant l’outil, on peut alors encore modifier la forme des découpes

3/ découper les ouvertures

En mode édition sur l’outil : sélectionnez et supprimez la partie inférieure des cylindres :

Suppression des faces vous pouvez ajouter aussi les 4 disques qui ferment les cylindres
Sélectionnez les edges et extrudez-les vers le bas
Voilà votre voute en plein cintre

L’avantage d’avoir un outil c’est que vous pouvez modifier à tout moment votre forme et par exemple activer la déformation proportionnelle, sélectionnez les arêtes au sommet et transformez votre voute en plein cintre en simili voute en 3 points, etc

Cette méthode sera cependant très approximative et vous ne maitrisez pas trop le maillage généré.

B/ L’extrusion de profils

1/ Le profil plein

A partir du moment où on effectue des tracés comme dans la réalité on obtient des arcs de cercles. Rien de plus simple alors que de créer et extruder à partir de ces arcs de cercle :

Sélection des edges qui forment les arcs

On voit qu’il y a un problème en haut. L’arc est plus grand et dépasse du milieu. Voilà une petite astuce pour la relier au milieu :

-Activer l’aimantation ou snapping ([Maj]+[Tab]) et placez le type d’aimantation sur « segment ». Le vertex va donc s’accrocher au segment le plus proche :

-Sélectionnez le vertex qui dépasse et pressez [G] [G] pour grab / déplacer le long du segment, validez quand l’intersection est en surbrillance :

Pour l’autre vertex vous pouvez simplement le déplacer au même endroit et il ne reste plus qu’à extruder tout ça :

Extrusion 1

Je vous passe un peu les détails, je ferme la géométrie des 2 côtés et comme les 2 voutes sont identiques plutôt que d’extruder le 2ième profil, je déplace le curseur 3D sur le point milieu en haut de la voute, je duplique mon objet et le tourne de 90° :

Double voute

Il suffit ensuite de percer dans les 2 sens ou de jouer avec les opérations booléennes mais c’était juste pour s’amuser car c’est beau mais ce n’est ce qu’on veut!
On ne va pas extruder jusque l’autre côté puisque l’on créé seulement les voutes transversales donc :

Le début des voutes transversales

1/ On extrude ici de 8pouces d’un côté et de l’autre
2/ On place le curseur au centre de la croisée et on fait une symétrie.
3/ Comme précédemment on duplique l’objet obtenu et on le tourne de 90° suivant Z

Résultat final

2/ profil courbe

Ici on ne créé par un profil fermé avec 2 courbes. La technique est plus rapide et semi destructive : vous sélectionnez directement la courbe intérieure ou extérieure pour l’extruder et en faire une surface. Ensuite il ne vous reste plus qu’à appliquer le modifier solidify pour donner de l’épaisseur puis le modifier mirror :

L’avantage c’est que vous pouvez modifier l’épaisseur comme vous voulez en modifiant le paramètre Thickness. La même technique que précédemment sera utilisée ensuite pour créer les 3 autres voutes (appliquer le modifier, dupliquer, rotation, etc).

C/ Le balayage suivant une courbe

Les méthodes précédentes conviennent si c’est une voute simple, sans ornement. Le problème que l’on va rencontrer ensuite c’est pour obtenir les formes spéciales qui font toute la beauté de l’art gothique. On va devoir creuser dans la forme obtenue avec l’outil bevel (chanfrein, arrondi) en incluant un profil spécial, etc et la méthode apparemment simple va devenir beaucoup trop compliquée!

La solution que j’ai trouvé c’est la technique la plus courante en CAO : dessiner le profil, la section de la voute que l’on veut et lui faire suivre l’arc : c’est communément appelé un balayage et c’est relativement simple à créer sous Blender :
1/ On copie la courbe dans un nouvel objet et on le convertit en courbe : objet>convert>curve.
2/ On dessine le profil généralement à l’extérieur de la courbe (je vous laisse deviner pourquoi 🙂
3/ Généralement il vaut mieux faire correspondre les origines des 2 objets :

Le profil et la courbe

4/ [E] Extrusion suivant Z pour moi de 8 pouces pour respecter l’idée des claveaux :

5/ Créer une répétition avec le modifier Array et déformez le tout avec le modifier Curve:
– choisissez le remplissage à Fit Curve et sélectionnez votre courbe : cela vous évitera d’avoir à calculer le nombre de répétions!
– idem pour vous faciliter la tâche choisissez un relative offset suivant Z de 1 : le forme va se répéter à chaque fois de 1 fois sa hauteur.
– pour le modifier Curve, sélectionnez simplement la bonne courbe et modifiez l’axe de déformation sur Z

Le résultat

Problèmes possibles

Mauvaise orientation :
Mauvaise orientation

Si le profil n’est bien orienté pas de panique cela arrive souvent car pour l’instant on a défini le vecteur normal (suivant Z) donc le profil suit la normale à la courbe mais on ne lui a pas encore donné la position, l’angle du plan XY par rapport à la courbe. Sur Blender il faut savoir que chaque point de la courbe peut avoir une orientation différente donc…

Sélectionnez toute la courbe en mode edition [Tab] et [A] et modifiez le Mean Tilt : l’angle que doit prendre le profil en suivant la courbe :

Mean Tilt
Mauvais sens
Affichage des normales

Si votre profil part du mauvais côté, vérifiez le sens de votre courbe et corrigez-le si besoin.

Il suffit en mode edition d’aller dans Segments>Switch Direction si vous avez activé la visualisation des normales vous voyez les fleches changer de sens :

Changer le sens de la courbe

Les avantages de cette méthode?
– vous pouvez modifier la courbe et le profil suit en temps réel les modifications.
– vous pouvez modifier le profil comme bon sous semble sans devoir tout recréer.
– vous pouvez simplement modifier la hauteur de vos pierres en modifiant la hauteur de votre extrusion et comme précédemment tout se recalculera

J’aurais faire continuer la courbe de l’autre côté et le profil l’aurait suivi mais comme la courbe n’est pas tangente en son sommet je trouve plus propre de la continuer normale à la dernière section et de la couper. Pour cela je dois appliquer les « modifier », créer une symétrie passant par le milieu de la voute et corriger la géométrie ainsi générée.

On comprend pourquoi les bâtisseurs ont longtemps gardé la voute en plein cintre et c’est amusant de se rendre compte qu’en modélisation 3D on rencontre les mêmes problèmes pour générer des ogives parfaites! D’ailleurs suite au prochain épisode pour la modélisation de la croisée d’ogive.

III/ Les voutes de Reims

A/ La voute transversale

J’ai déjà tout dit et même montré la technique sous Blender donc voilà les courbes tracées et c’est celle le plus à l’intérieur qui va définir ma trajectoire :

Pour le profil je suis parti sur la philosophie des tracés du pilier de VlD en les adaptant à mon échelle. Si vous regardez le claveau dessine une colonnette dont le centre est défini par les axes verts. Si vous prenez 1/4 de cercle et que vous le tournez de 90° suivant le point rouge et bleu dans 1 sens et dans l’autre… Vous obtenez la figure ci-contre :

Il suffit de répéter 2 fois cette forme et de rajouter le boudin au bout, de symétriser l’ensemble et vous avez le profil complet de la voute.

Par curiosité je me suis amusé à calculer le nombre de claveaux approximatif pour couvrir la voute… Notre cercle de rayon R=4.4 donne une longueur totale de 2*Pi*R = 27.64m. Si notre claveau fait 8pouces de haut on a un nombre d’arcs de = 27.64/Hauteur du claveau= 136 claveaux. j’ai considéré grossièrement notre arc en 3 points comme la projection d’un quart de cercle donc 136/6 ce qui donne 34.006 claveaux. Dans la réalité c’est moins.. Et ça n’a pas servi à grand chose juste à vous voler 2 minutes de votre temps :/
Au final je suis resté sur une hauteur de claveau de 8pouces soit 0.2032 et il suffisait alors de le promener le long de la courbe :

La voute finalisée.

Et voilà : la voute épouse parfaitement l’image du plan (ce que vous voyez au-dessus est la croisée d’ogive) et correspond à ce que j’attendais en terme de dimensions. La voute entière fait 62 tranches de claveaux. Si je compare à l’image j’ai a peu près les bonnes divisions de l’arc mais bon c’est du détail.. Voilà le résultat :

Les voutes transversales finies

B/ Voute longitudinale : fenêtre

J’ai copié/collé la voute transversale à l’emplacement de la fenêtre pour simplement constater ce que je savais déjà… Comme je suis partie sur une croisée d’ogive se basant sur un rectangle la voute en surbrillance est légèrement trop large :

Essai

Pour la tracer j’ai néanmoins 1 référence avec la base de mon pilier côté mur :

Profil de la voute de la fenetre

Je sais que la dernière colonne forme l’arc de la fenêtre tandis que celui du milieu est le départ de la croisée d’ogive. De même le profil de la voute sous le mur de la nef est le même que la voute transversale donc je peux faire un combo et voilà les différents profils :

A gauche le profil sous le mur de la nef, au milieu l’arc unique de la fenêtre que je reporte à l’extérieur.

Je vérifie ainsi les propos de VlD qui dit que dans ces cathédrales, les arcs des doubleaux forment également ceux de la fenêtre. Très intelligent…

Pour l’arc maintenant.. J’avais déjà remarqué que le centre était décalé de H vers le haut. J’ai repris le même décalage que pour la voute transversale pour avoir les mêmes départs de voute :

Voute longitudinale
Superposition avec l’image

Même si cela fonctionne je sens que quelque chose m’échappe… Il va falloir modéliser la croisée d’ogive pour s’apercevoir s’il y a une couille dans le potage (comme disait mon défunt grand père)! Mais on va dire que jusqu’ici tout va bien.

IV/ Analyse et comparaison photos

la base du pilier côté fenêtre avec le mur du collatéral

J’arrive pratiquement à la même géométrie à quelques détails près. En réalité je trouve l’étage situé dessous les colonnettes horrible avec tous ces angles saillants. Je ne sais pas ce qui s’est passé à ce niveau mais je ne m’amuserai pas à les reproduire. Pour finaliser ma géométrie je rajouterai la moulure sur la partie intermédiaire et les donuts en bas des colonnes. Oui c’est sûrement pas le terme technique mais c’est parlant, non?

Autre point de vue important, le dessous de la croisée d’ogive ou plutôt le départ de toutes les voutes :

Vue du dessous de la croisée d’ogive du collatéral

Bien entendu ce n’est pas une preuve que mon tracé est juste mais ça fait du bien de constater après avoir redimensionné l’image que les colonnettes et les pieds suivent le mouvement des piliers. En fait même s’il y a une erreur je l’évalue à maximum 8 pouces et sur la grandeur du bâtiment sa perception sera dans tous les cas quasi nulle donc me voilà prêt pour affronter le prochain défi : finir la voute avec la croisée d’ogive et surtout le passage de fenêtre.

V/ Bonus

Voilà comment diviser une longueur en 3 et 4 parties avec un compas :

Si l’animation ne se lance pas : ouvrez l’image (1 image toutes les 4 secondes)

Pour la division en 4 :
1/ on trace le cercle de rayon r
2/ en plaçant le compas en A et B avec le même écartement on obtient les points d’intersection I et J
3/ vous pouvez alors projeter ces points I et J perpendiculairement sur la droite AB qui est alors coupée en 4 parties égales AC CO OD DB.

Pour la division en 3 on ajoute 1 étape : toujours avec le même écartement on place le centre du compas sur le point C et le cercle coupe le cercle initial en E. En abaissant ce point perpendiculaire on coupe la droite AB en F.
On a alors AF = 2R/3 = AB/3 puisque AB représente le diamètre du cercle…

NB : Je suis partie du principe que le centre O était connu mais si ce n’est pas le cas c’est pas grave. Vous pouvez facilement trouver le centre de la droite AB et donc la diviser en 2 en traçant un cercle de rayon AB aux points A et B : en reliant les points d’intersection en haut et en bas, on aura le point d’intersection O qui coupe la droite AB en plein milieu.

Pour ceux qui veulent se plonger dans les ogives :

https://fr.wikisource.org/wiki/Dictionnaire_raisonn%C3%A9_de_l%E2%80%99architecture_fran%C3%A7aise_du_XIe_au_XVIe_si%C3%A8cle/Ogive